Pre MSc Foundation Program in Angewandter Mathematik

Das Pre-Master's Foundation Program (PMFP) in Applied Mathematics zielt auf die Homogenisierung der Kompetenzportfolios von Studieninteressierten der beiden Masterstudiengänge Mathematical Modeling und Mathematical Engineering an der University Of L'Aquila , zu denen auch das Erasmus-Mundus-Programm "InterMaths - Interdisziplinäre Mathematik" gehört. , den gemeinsamen Masterstudiengang "MathMods" und den Double Degree-Studiengang "InterMaths".

Abhängig von den grundständigen Studiengängen der Studierenden und dem Bildungssystem in ihrem Herkunftsland können Studierende in diesen drei Studiengängen sehr unterschiedliche Fähigkeiten in den Disziplinen aufweisen, die diese Masterstudiengänge charakterisieren. Das PMFP in Angewandter Mathematik soll dieses Problem angehen, indem es spezifische Kompetenzen sowohl in theoretischer Mathematik (Reale Analysis und Lineare Algebra) als auch in Computerprogrammierung abdeckt. Was die theoretische Mathematik betrifft, so ist das Hauptziel des PMFP die Überbrückung der Lücke zwischen "Infinitesimalrechnung" und "realer Analyse", ein typisches Problem, das sich häufig für angehende MSc-Studenten mit einem sehr "anwendungsbezogenen" Hintergrund stellt.

Das PMFM wird sehr grundlegende Themen der Realanalyse beinhalten, die es den Studenten ermöglichen, mit der Infinitesimalrechnung mit einer strengen "realen Analyse"-Perspektive (einschließlich der Verwendung strenger mathematischer Beweise) umzugehen. Andererseits fehlen Studenten mit einem starken "theoretischen" Hintergrund manchmal grundlegende Programmier- und Rechenfähigkeiten. Somit bietet das PMFP eine grundlegende Einführung in die Computerprogrammierung und insbesondere in die Rechenumgebung "MATLAB", die in den numerischen Analysis-Kursen der oben genannten MSc-Programme weit verbreitet ist.

Module

Teil 1

• Ein Crashkurs zur Linearen Algebra

Lineare Räume, lineare Abhängigkeit, Basen eines linearen Raums, Dimension eines linearen Raums, lineare Unterräume.

Matrizen, Grundoperationen mit Matrizen, Koordinatenänderung, Determinanten, Rang. Ein kurzer Bericht über lineare Systeme und Gauß-Eliminierung.

Diagonalisierung von quadratischen Matrizen, Eigenwerten, Eigenvektoren. Innere Produkte, bilineare Formen und quadratische Formen.

• Differentialgleichungen: Grundlagen

Allgemeine Einführung in Differentialgleichungen, Cauchy-Probleme.

Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen. Die Sätze von Peano und Cauchy. Beispiele, Peanos Pinsel.

Einführung in lineare Differentialgleichungen. Beispiele.

Ein kurzer Abriss der qualitativen Analyse von Cauchy-Problemen. Lösungsvergleich, Maximallösungen, globale Existenz von Lösungen, Aufblähen von Lösungen. Beispiele.

• Echte Analyse: Grundlagen

Aussagelogik. Aussagenrechnung.

Mengen, Mengenoperationen, Beziehungen, Funktionen. Die Kardinalität von Mengen, abzählbaren Mengen, abzählbaren Mengen. Elementare Zahlensätze. Integer und rationale Zahlen. Induktionsprinzip.

Mehr zu Funktionen: injektive und surjektive Funktionen, invertierbare Funktionen, Bild und Vorbild.

Die Menge der reellen Zahlen. Trennungsaxiom, Dedekind schneidet. Infimum und Supremum. Archimedisches Anwesen. Komplexe Zahlen: Kartesische und trigonometrische Form, Grundeigenschaften, Potenzen, komplexe Wurzeln, Fundamentalsatz der Algebra.

Folgen reeller Zahlen: monotone Folgen, Konvergenz einer Folge, Teilfolgen, limsup und liminf einer Folge, Satz von Bolzano-Weierstraß.

Einführung in die Funktionen reeller Zahlen. Elementare Funktionen: Exponential- und Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen, irrationale Funktionen. Monotone Funktionen.

Die Topologie der reellen Zahlen: Intervalle, Halblinien, offene Mengen, abgeschlossene Mengen. Die Topologie des euklidischen Raums Rn: Kugeln, offene und abgeschlossene Mengen. Kompakte Sets im euklidischen Raum.

Teil 2

• Einführung in MATLAB

Die MATLAB-Umgebung, Grundlegende Computerprogrammierung, Variablen und Konstanten, Operatoren und einfache Berechnungen, Formeln und Funktionen. MATLAB-Toolboxen.

Überprüfung von Matrix und linearer Algebra, Vektoren und Matrizen in MATLAB, Matrixoperationen und Funktionen in MATLAB.

Algorithmen und Strukturen, MATLAB-Skripte und -Funktionen (m-Dateien), einfache sequentielle Algorithmen, Kontrollstrukturen (wenn...dann, Schleifen).

Lesen und Schreiben von Daten, Dateihandling, Personalisierte Funktionen, MATLAB-Grafikfunktionen. Interaktive Hands-on-Sessions.

• Einführung in die Programmierung

Algorithmen, Programme und Programmiersprachen.

Die Lernumgebung für die Programmiersprache Python und Turtle Graphics. Befehle und Befehlsfolgen. Schreiben und Ausführen eines Programms.

Eindeutige Iteration. Prozeduren: Python-Funktionen definieren und aufrufen. Prozeduren mit Parametern.

Variablen und Objekte. Grundlegende Datentypen in Python. Ausdrücke.

Auswahl, Rekursion und unbestimmte Iteration.

Grundlegende Datenstrukturen in Python: Tupel, Strings, Listen, Wörterbücher.